數(shù)字是很奇妙的存在，它們不僅被用作計(jì)算，某些數(shù)字本身就隱藏著很多特別的屬性。

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　　如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的真因子（又叫“真因數(shù)”，即除了自身以外的約數(shù))之和，則稱該數(shù)為完全數(shù)，又稱完美數(shù)或完備數(shù)。比如，6的約數(shù)為1、2、3、6，其真因子即為1、2、3，三者相加正好等于6，所以說6就是一個(gè)完全數(shù)。

　　最早研究完全數(shù)的是公元前6世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯，他發(fā)現(xiàn)了6和28的數(shù)字特性——兩者都是完全數(shù)，并且他認(rèn)為6這一完全數(shù)象征著“完滿的婚姻、健康和美麗”。

　　除了完全數(shù)，根據(jù)自然數(shù)與其真因數(shù)之和的大小關(guān)系，還有盈數(shù)和虧數(shù)。以自然數(shù)“4”為例，它的真因數(shù)為1、2,兩者相加等于3，小于它本身，這樣的自然數(shù)叫做虧數(shù)。再以自然數(shù)“12”為例，它的真因數(shù)為1、2、3、4、6，相加之和等于16，大于它本身，這樣的自然數(shù)叫做盈數(shù)。通過研究其規(guī)律，人們發(fā)現(xiàn)一個(gè)完全數(shù)的倍數(shù)一定是盈數(shù)，一個(gè)完全數(shù)的因子一定是虧數(shù)。

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　　完全數(shù)在自然數(shù)中的占比較低，因此吸引了無數(shù)人加入到尋找完全數(shù)的行列。通過借助計(jì)算機(jī)，人們逐漸發(fā)現(xiàn)了越來越多的完全數(shù)，最大的一個(gè)在2013年被發(fā)現(xiàn)，位數(shù)高達(dá)4850340位。

　　數(shù)字6是被數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)完全數(shù)，第二個(gè)至第四個(gè)被發(fā)現(xiàn)的完全數(shù)依次為28、496、8128。這些數(shù)具有以下特點(diǎn)：

　　6=2×3=2×(2²-1)

　　28=4×7=2²×(2³-1)

　　496=16×31=2⁴×(2⁵-1)

　　8128=64×127=2⁶×(2⁷-1)

　　由此出現(xiàn)了兩個(gè)猜測：在n為質(zhì)數(shù)時(shí)，所有2^n-1(2ⁿ-1)形式的數(shù)都是完全數(shù)嗎？所有偶完全數(shù)都屬于2^n-1(2ⁿ-1)這種形式嗎？

　　這兩個(gè)猜想得到了數(shù)學(xué)家的證實(shí)。最早研究了2^n-1型的質(zhì)數(shù)問題的是法國數(shù)學(xué)家梅森，因此這類數(shù)被稱為梅森數(shù)，其中的質(zhì)數(shù)n被稱為梅森質(zhì)數(shù)。梅森的研究表明，一個(gè)梅森質(zhì)數(shù)對應(yīng)一個(gè)偶完全數(shù)。目前通過計(jì)算機(jī)共發(fā)現(xiàn)了30多個(gè)梅森質(zhì)數(shù)，但究竟還有多少，仍是一個(gè)未解之謎。對于是否存在奇完全數(shù)，目前尚未有結(jié)論，但數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明：若奇完全數(shù)確實(shí)存在，這個(gè)數(shù)一定大于10⁵⁰。

　　完全數(shù)是自然數(shù)中非常具有趣味性的一系列數(shù)字，相信未來會(huì)通過更加精準(zhǔn)、先進(jìn)的方式計(jì)算出更多的完全數(shù)。

　　本文由中國人民大學(xué)附屬中學(xué)第二分校一級教師秦薇進(jìn)行科學(xué)性把關(guān)。??

　　本作品為“科普中國-科學(xué)原理一點(diǎn)通”原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載時(shí)務(wù)請注明出處。

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