1906年8月，銀行家沃倫一家正在紐約的避暑別墅度假。沒(méi)多久沃倫的女兒感染了傷寒，緊接著這所別墅里的11人有6人被感染。很快將人們將目標(biāo)鎖定在了廚師瑪麗·梅倫（Mary Mallon）身上，瑪麗此前工作過(guò)的地點(diǎn)都曾暴發(fā)過(guò)傷寒，而且瑪麗不是一個(gè)愛(ài)干凈的廚師，上完廁所及做飯之前從來(lái)不洗手，瑪麗最擅長(zhǎng)不戴手套手工制作“桃子冰激凌”?，旣惪雌饋?lái)健康壯實(shí)、面色紅潤(rùn)，完全不像是一個(gè)感染者，但研究人員在她的膽囊中發(fā)現(xiàn)了大量活性傷寒桿菌。作為歷史上第一個(gè)被發(fā)現(xiàn)的“健康帶菌者”，瑪麗與當(dāng)?shù)匦l(wèi)生部門(mén)達(dá)成和解并取消隔離，條件是她不再做廚師。幾年后，固執(zhí)的瑪麗再次以“布朗夫人”的名義重操舊業(yè)，并再次使25人感染。瑪麗最終被隔離在一座島上直到去世?，旣愐簧兄苯觽鞑チ?2例傷寒，其中7例死亡，間接被傳染者不計(jì)其數(shù)。作為歷史第一位“超級(jí)傳播者”，她擁有了一個(gè)與傷寒緊緊聯(lián)系在一起的名字“傷寒瑪麗(Typhoid Mary)”

假如我們每個(gè)人都是“超級(jí)瑪麗”，每天傳染10個(gè)人，只要不到10天時(shí)間，全世界的人都會(huì)被感染。如果傳染病的致死率為10%的話(huà)，很快地球上將減少7.5億人口。幸運(yùn)的是，這是傳染病傳播最簡(jiǎn)陋的模型，實(shí)際上還沒(méi)有哪一種傳染病能在這么短時(shí)間內(nèi)讓這么多人死亡。

早期的傳播模型

天花病毒是催生人類(lèi)研究傳染病模型的最早動(dòng)力，盡管我國(guó)在宋代就已經(jīng)開(kāi)始接種人痘以預(yù)防天花，但人痘法依然具有讓人感染上天花并死亡的風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)這種方法傳到歐洲的時(shí)，對(duì)這種風(fēng)險(xiǎn)的擔(dān)憂(yōu)開(kāi)啟了對(duì)傳染病模型的研究。英國(guó)科學(xué)家詹姆斯?尤林(James Jurin)統(tǒng)計(jì)量很多天花病例，結(jié)論證明自然感染天花的死亡概率為10-20%，接種天花疫苗后仍然死亡人數(shù)的人數(shù)2%，這是有關(guān)傳染病最早的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

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然而，在歐洲大陸的法國(guó)，對(duì)接種的懷疑態(tài)度比英國(guó)更為強(qiáng)烈，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli)試圖從從另一個(gè)角度證明天花疫苗的長(zhǎng)期利益大于眼前的風(fēng)險(xiǎn)——即人痘究竟能夠?qū)㈩A(yù)期壽命將增加多少。

他把人群分為兩組:一組是天花易感人群（Susceptible），另一組是之前感染過(guò)天花的人群（Infective）。作為流體力學(xué)的開(kāi)山鼻祖，他的模型一開(kāi)始就考慮了時(shí)間的作用，并用兩個(gè)方程來(lái)描述這個(gè)問(wèn)題。一個(gè)方程描述了人口隨時(shí)間的變化; 另一組給出了易感染天花的人數(shù)。在這種簡(jiǎn)化模型下，如果所有人口在出生時(shí)接種疫苗，預(yù)期壽命將增加3年以上。丹尼爾·伯努利開(kāi)創(chuàng)了傳染病模型研究的先河，他在模型中引入的流體力學(xué)的描述方法至今仍在使用。

最經(jīng)典的模型

一百多年以后，流行病學(xué)研究逐漸發(fā)展成為一門(mén)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科。發(fā)現(xiàn)蚊子是瘧疾的傳播媒介的 Ronald Ross 爵士成為第一個(gè)因?yàn)榱餍胁W(xué)研究獲得諾貝爾獎(jiǎng)的人。

Ross 爵士的助手安德森·麥肯德里克（Anderson McKendrick）與其同實(shí)驗(yàn)室的化學(xué)家威廉·克馬克（William Kermack），在1927年共同發(fā)表了流行病研究中最經(jīng)典、最基本的“SIR”模型，為傳染病動(dòng)力學(xué)的研究做出了奠基性的貢獻(xiàn)。

SIR模型從所有人的總數(shù)N出發(fā)，將人群分為三類(lèi)：

易感者（Susceptible）：還沒(méi)有被感染，但是可能被感染的人，數(shù)量用S表示；

感染者（Infective）：已經(jīng)被感染且依然能接觸易感人群的人，數(shù)量用I表示；

移除者（Removal），由于被隔離或接受治療產(chǎn)生免疫能力，以及那些因病去世的人被稱(chēng)為移除者，數(shù)量用R表示；

在最開(kāi)始的時(shí)候，所有人都是易感者，即S=N；然后S以每天有α的可能性被感染，感染者I又以每天β的概率轉(zhuǎn)化為移除者R（康復(fù)或死亡）。

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這三種人的數(shù)量都與時(shí)間有關(guān)系，在不同時(shí)刻t下，這三者的關(guān)系為：

N(t)=S(t)+I(t)+R(t)

總?cè)藬?shù)= 易感人數(shù)+感染人數(shù)+移除人數(shù)

S(t+1)=S(t)-αS(t)

下一時(shí)刻的易感人數(shù)=當(dāng)前易感人數(shù)-新感染人數(shù)

I(t+1)=I(t)+αS(t)-βI(t)

下一時(shí)刻的感染人數(shù) = 當(dāng)前感染人數(shù)+新感染人數(shù)-新移除人數(shù)

R(t+1)=R(t)+βI(t)

下一時(shí)刻的移除人數(shù)=當(dāng)前移除人數(shù)+新移除人數(shù)

從這四個(gè)簡(jiǎn)單到小學(xué)生就能懂的關(guān)系式出發(fā)，McKendrick和Kermack研究了S，I，R三類(lèi)人隨時(shí)間的變化率。他們采用了一種被稱(chēng)為連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈的隨機(jī)過(guò)程最終推導(dǎo)出三類(lèi)人員的變化率(具體過(guò)程比較復(fù)雜，暫且可以忽略)：

我們最關(guān)心的是第二個(gè)式子，即感染人群數(shù)I的變化率。當(dāng)I的變化率I'為負(fù)值，則表明感染的總?cè)藬?shù)I是在下降的。當(dāng)I'為正值時(shí)，感染的總?cè)藬?shù)I在上升。因此，科學(xué)家們將αS(t)I(t)與βI(t)的大小關(guān)系定義為一個(gè)特殊的量：

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R0表示的是基本傳染數(shù)（Basic Reproduction Rate），它代表了感染者在死亡或康復(fù)之前被他感染的人數(shù)。盡管形式上有些類(lèi)似，但R0與移除者R（Removal）本身并沒(méi)有關(guān)系。當(dāng)R0<1時(shí)，每個(gè)感染該疾病的人在死亡或康復(fù)之前感染的人數(shù)少于1人，因此疫情將逐漸消失(I'<0)。當(dāng)R0>1時(shí)，意味著每個(gè)人感染者將再感染不止一個(gè)人，因此該流行病將傳播開(kāi)來(lái)(I'>0)。上面的R0只適用于基本的SIR模型，不同的傳染病具有不同的R0。

R0可能是流行病學(xué)中最重要的一個(gè)量，是研究傳染病群體生物學(xué)的核心問(wèn)題。下圖展示了季節(jié)性流感（Seasonal Flu），埃博拉(Ebola)，SARS，麻疹（Measles）以及艾滋病病毒（HIV）的R0。盡管麻疹具有最強(qiáng)的傳染性，但是大家不用擔(dān)心，中國(guó)從1965年開(kāi)始普種麻疹減毒活疫苗后發(fā)病顯著下降。

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最早的SIR模型奠定了傳染病模型研究的基礎(chǔ)，但它畢竟是一種簡(jiǎn)化的模型。影響傳染病實(shí)際傳播的因素非常復(fù)雜，自身免疫狀況，傳播方式，人群聚集情況，醫(yī)療保障措施（疫苗）等等都會(huì)影響傳播。SIR的缺陷也非常明顯的，它并沒(méi)有考慮許多傳染病存在潛伏期，已經(jīng)被感染但是沒(méi)有表現(xiàn)出來(lái)的人群被稱(chēng)為潛伏者。當(dāng)潛伏期趨近于無(wú)窮的時(shí)候，被感染的人就會(huì)像”傷寒瑪麗“那樣，很容易作為超級(jí)傳播者。潛伏期越長(zhǎng)，傳染病越難控制?？紤]到這些因素，SIR模型衍生出了SEIR模型，其中E代表潛伏者(EXPOSED)。

注意這些模型之間的那些實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)，表示不同類(lèi)別之間轉(zhuǎn)化的可能性，虛線(xiàn)表示也可能這種轉(zhuǎn)化不存在。像艾滋病這種傳染病，感染者目前并沒(méi)有機(jī)會(huì)獲得治愈，也就是沒(méi)有移除者（Removal），SIR模型并不適用。描述艾滋病傳播的模型模型被稱(chēng)為SI模型（易感-感染者模型）。

借助這些傳染病模型，我們將能驗(yàn)證隔離或注射疫苗確實(shí)是制止傳播的有效手段。假如感染者，能夠每天接觸10個(gè)人，

假如有20%的機(jī)會(huì)使周?chē)娜烁腥?，則R0 =2：

可是如果那10個(gè)人中，有5個(gè)都打了疫苗：

則R0就會(huì)降到R0=1.

疫苗實(shí)際上與隔離的作用差不多，也將會(huì)降低R0.

我們也可以將SIR三類(lèi)人在不同時(shí)間的人數(shù)用曲線(xiàn)表示出來(lái)。例如總?cè)藬?shù)為 1000 的大學(xué)或公司，剛開(kāi)始只有一個(gè)人感染感冒，其他 999 個(gè)人很健康但屬于易感人群。假設(shè)感染者每天將傳染其他五人，并且人們一般會(huì)在生病一到三天后決定去醫(yī)院或隔離。因此，我們假設(shè)每天移除 1/3的感染者。曲線(xiàn)如下所示，其中藍(lán)色，綠色，紅色分別表示易感者S，感染者I以及移除者R.

上例中，疫情會(huì)在五天后達(dá)到高潮，一半的人群會(huì)被感染，疫情大爆發(fā)了。如果我們?cè)賮?lái)分析如果每天80%的感染者被送進(jìn)醫(yī)院或隔離，將得到：

盡管它在第六天才達(dá)到頂峰，但只有不到200人感染。數(shù)據(jù)證明感染后就醫(yī)與隔離是正確的做法。

結(jié)束語(yǔ)

SIR模型簡(jiǎn)要的反映了群體中不同類(lèi)別之間的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換。這種基于流體力學(xué)的狀態(tài)演變方程用途十分廣泛，它們不僅能夠描述捕食者和獵物之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，描述經(jīng)濟(jì)周期的動(dòng)態(tài)變化，還能描述輿論傳播等很多領(lǐng)域。所有這些最基礎(chǔ)的模型并不深?yuàn)W，只需要基本的微積分知識(shí)就能深刻了解數(shù)學(xué)帶來(lái)的神奇力量！

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